Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì trên thế giới không có Đại học hoặc Viện nghiên cứu nào, trừ ĐHKHTN (ĐHQG) Hà Nội, có một bộ môn dành cho cả ba ngành toán học lớn là Đại số, Hình học và Tôpô. Chúng tôi gọi đùa đây là "Bộ môn 3 trong 1". Xin hãy giở tạp chí Mathematical Reviews để xem ba ngành này chiếm bao nhiêu đề mục phân loại trong Toán học hiện đại. Tầm quan trọng của 3 ngành Đại số, Hình học và Tôpô còn thể hiện ở chỗ không ít hơn 3/4 số giải thưởng Fields danh giá đã được dành để tôn vinh các nhà toán học làm việc trong lĩnh vực này.
Vậy mà Bộ môn Đại số, Hình học và Tôpô của ĐHTH (nay là ĐHKHTN, thuộc Đại học Quốc gia) Hà Nội lại là một trong những bộ môn sinh sau đẻ muộn. Điều này có lý do bắt nguồn từ lịch sử. Khoa Toán của ĐHTH Hà Nội được GS Lê Văn Thiêm gây dựng vào năm 1956. Giáo sư là một chuyên gia về Hàm phức. Do đó, theo lẽ tự nhiên, giáo sư đã xây dựng Khoa Toán bắt đầu từ nền tảng Giải tích. Thật vậy, hầu hết học trò những lứa đầu tiên, sau này trở thành đồng nghiệp của GS Lê Văn Thiêm, đều được giáo sư phân công làm việc trong những chuyên ngành của Giải tích, như Hàm thực và Giải tích hàm (Hoàng Tuỵ, Phan Đức Chính), Phương trình Vi phân (Hoàng Hữu Đường), Phương trình Đạo hàm riêng (Nguyễn Thừa Hợp, Phạm Ngọc Thao), hoặc những lĩnh vực mà lúc bấy giờ được xem là ứng dụng của Giải tích, như Xác Suất (Nguyễn Bác Văn, Hoàng Hữu Như) hay Cơ học (Đào Huy Bích, Phạm Hữu Vĩnh). Sau này, các hướng nghiên cứu Toán ứng dụng (Phương pháp tính, Quy hoạch toán học,...) được xây dựng trong Khoa Toán cũng chủ yếu được xem như những ứng dụng của Giải tích. Như thế, việc Khoa Toán ĐHTH Hà Nội được xây dựng lệch về phía Giải tích và khiếm khuyết về phía Đại số, Hình học, Tôpô là điều có thể hiểu được tại thời điểm khởi đầu. (Ở một số đại học trên thế giới, một sự thiên lệch tương tự cũng có thể xảy ra tại thời điểm khởi đầu.) Nhưng việc để cho sự lệch lạc ấy tiếp tục tồn tại ở Khoa Toán sau chừng hơn 40 năm lại là một điều khó chấp nhận.
Những hạt nhân đầu tiên của hướng nghiên cứu Đại số trong Khoa Toán là các anh Nguyễn Quốc Toản, Nguyễn Xuân My và Đặng Hữu Đạo. Các anh từng được cố Bộ trưởng Tạ Quang Bửu, GS Lê Văn Thiêm và GS Hoàng Tuỵ đánh giá rất cao. Nhưng do những hoản cảnh xã hội đặc biệt, các anh đã không được sớm đào tạo trên đại học. Trong bối cảnh (hồn nhiên và dường như không tự ý thức) của không khí đậm màu sắc Giải tích nói trên thì không có gì lạ khi mà trong suốt các thập niên 50, 60 và 70 của thế kỷ trước Bộ môn Đại số chưa được thành lập. Những người giảng dạy Đại số khi đó lúc đầu được xếp sinh hoạt trong Bộ môn Phương pháp tính, sau đó trong Bộ môn Điều khiển và Đại số. Hệ quả tất yếu là từ những năm 1950 tới những năm 1970 sinh viên Khoa Toán được đào tạo chủ yếu là về Giải tích và những ứng dụng của nó; kiến thức Đại số của họ tương đối hạn chế, còn kiến thức Hình học và Tôpô của họ thì hầu như không có gì. Mặc dù vẫn biết rằng Đại số là một ngành khó, nhưng thời đó khi nghe tin một sinh viên nào đó xin làm luận án tốt nghiệp về Đại số, người ta thường buông một câu “À, nhóm - vành- trường”. (Ý muốn nói: Thế là hết chứ gì.) Thật ra thì Đại số không chỉ nghiên cứu nhóm, vành, trường. Mặt khác, mỗi chữ trong ba chữ "nhóm, vành, trường" cũng đủ là đối tượng cho người ta nghiên cứu cả đời. Đáng tiếc là lúc bấy giờ một số người có xu hướng nghĩ rằng ba khái niệm đó thì chỉ học 15 phút là xong. (Chắc là học xong cái định nghĩa.) Can cớ gì mà phải nghiên cứu mãi (!)
Hạt nhân đầu tiên của hướng nghiên cứu Tôpô - đại số trong Khoa Toán là anh Huỳnh Mùi. Mùa hè 1977 anh từ Đại học Tokyo về nước, và lúc đầu được tạm xếp vào Bộ môn Giải tích. Một bạn trẻ khi ấy mới tốt nghiệp đại học (1976) là Nguyễn Hữu Việt Hưng, được Khoa Toán phân công nghiên cứu Hình học- Tôpô, lúc đầu cũng được tạm xếp vào Bộ môn Giải tích.
Hạt nhân đầu tiên của hướng nghiên cứu Hình học vi phân - Nhóm Lie và Đại số Lie trong Khoa Toán là các anh Đào Trọng Thi và Đào Văn Trà. Hai anh từ đại học Moskva về nước đầu năm 1978, và lúc đầu được xếp vào Bộ môn Điều khiển và Đại số.
Trên cơ sở những yếu tố nhân sự sẵn có lúc bấy giờ, Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô được chính thức thành lập năm 1978: Các anh Phạm Ngọc Thao, Huỳnh Mùi, Nguyễn Hữu Việt Hưng từ Bộ môn Giải tích sang; các anh Nguyễn Quốc Toản, Đào Trọng Thi, Đào Văn Trà, Hoàng Minh Chương, Trần Trọng Huệ, Đinh Mạnh Tường, Nguyễn Văn Vinh, Nguyễn Đức Đạt, Phạm Việt Hùng... từ Bộ môn Điều khiển và Đại số tới. Lúc đầu, Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô do GS Phạm Ngọc Thao làm chủ nhiệm. Thật ra, ông là một chuyên gia về phương trình đạo hàm riêng. Do đặc biệt thích thú Định lý Atiyah - Singer về chỉ số của toán tử elliptic mà ông quan tâm tới Tôpô Đại số, nói riêng là K-lý thuyết, và Hình học vi phân. Ông có nhiều kinh nghiệm, nên được Ban Chủ nhiệm Khoa Toán lúc đó giao cho nhiệm vụ giúp xây dựng Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô về mặt tổ chức.
Chỉ trong vòng 2 năm, Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô đã đạt tới độ cực thịnh về mặt kích cỡ. Năm 1980, Bộ môn bao gồm 17 thành viên (Hoàng Minh Chương, Nguyễn Đức Đạt, Nguyễn Nam Hải, Trần Trọng Huệ, Ngô Mạnh Hùng, Phạm Việt Hùng, Nguyễn Hữu Việt Hưng, Huỳnh Mùi, Đỗ Văn Thành, Phạm Ngọc Thao, Đào Trọng Thi, Nguyễn Quốc Toản, Đào Văn Trà, Phạm Thành Trí, Nguyễn Quế Tuyết, Đinh Mạnh Tường, Nguyễn Văn Vinh). Chủ nhiệm của Bộ môn Đại số -Hình học - Tôpô qua các thời kỳ lần lượt là các giáo sư Phạm Ngọc Thao, Đào Trọng Thi, Huỳnh Mùi, Nguyễn Văn Vinh, Trần Trọng Huệ, và từ năm 2000 tới nay là GS Nguyễn Hữu Việt Hưng.
Cổ nhân đã dạy: “Dục tốc bất đạt”. Cái gì phát triển nhanh quá thì khó bền. Đó là chuyện đã xảy ra với Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô sau khoảng 10 năm kể từ ngày được thành lập (1978 - 1988). Câu chuyện bắt nguồn từ những biến đổi xã hội sâu xa.
Làn gió đổi mới từ Đại hội VI Đảng CSVN (1986) đã đem lại nền kinh tế thị trường với những đổi thay lớn trong cuộc sống. Nước ta từ chỗ đói ăn đã trở thành một trong những nước xuất khẩu gạo hàng đầu thế giới, có tăng trưởng kinh tế đáng kể. Nhưng cơn lốc kinh tế thị trường, cùng với làn sóng công nghệ thông tin, đã dẫn đến những hệ quả khách quan, bất lợi không ngờ cho sự phát triển của toán học: Những năm cuối 1980 đầu 1990, hầu hết sinh viên Khoa Toán bỏ Toán để theo Tin học. Một số không nhỏ các thành viên của Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô người thì chuyển sang làm quản lý, người khác chuyển sang làm Công nghệ thông tin, người lại lo ra nước ngoài kiếm sống... Cho tới khoảng 1992 -1993, Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô có lúc chỉ còn vỏn vẹn 4 - 5 thành viên. Hơn nữa, tuổi trung bình của các thành viên trong bộ môn cứ mỗi năm lại tăng thêm một. “Cùng tất biến”. Kể từ năm 2000 đến nay, Bộ môn Đại số - Hình học- Tôpô bước sang một giai đoạn phát triển mới, vững vàng và khởi sắc. Ngoài 5 thành viên từ thời kỳ trước, trong vòng 6 năm (2000-2006) Bộ môn đã đào tạo và tuyển chọn được 9 thành viên mới, trong đó có 3 tiến sĩ trẻ (từ 29 đến 33 tuổi), 3 người được gửi đi làm nghiên cứu sinh tại Mỹ và 2 người làm nghiên cứu sinh trong nước. Tất cả 9 thành viên mới này đều vốn là cựu sinh viên của Bộ môn.
Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô nổi bật lên như một tập thể đoàn kết, vững vàng về chuyên môn, có tham vọng khoa học và đường lối phát triển hợp lý. Vì thế Bộ môn đã hấp thu được một số tiến sĩ trẻ từ nhiều nơi trên thế giới. Nhiều thành viên của Bộ môn, đặc biệt là các thành viên trẻ, đang tích cực nghiên cứu khoa học. Hai hướng nghiên cứu chính của Bộ môn hiện nay là Tôpô đại số và Hình học đại số.
Quan hệ quốc tế và hội nhập quốc tế trên cơ sở hợp tác chuyên môn là một thế mạnh của Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô. Các thành viên của Bộ môn thiết lập và duy trì những mối quan hệ quốc tế thực chất với các đồng nghiệp ở nhiều đại học tại Mỹ, Anh, Pháp, Nhật, Đức, Italia, Canada, Tây Ban Nha, Scotland,... Một số thành viên của Bộ môn đã giảng dạy đại học và trên đại học tại Mỹ, Anh, Pháp, Tây Ban Nha,..., đã được mời tham gia Ban chương trình và Ban tổ chức, hoặc trình bày báo cáo mời tại một số Hội nghị quốc tế. Bộ môn đang sử dụng các quan hệ này để gửi một số cán bộ trẻ (của bộ môn mình, của các bộ môn khác và của các đại học khác) đi đào tạo tại Mỹ, Pháp, Nhật,...
Bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô đã tổ chức thành công Trường hè và Hội nghị quốc tế về Tôpô Đại số, Hà Nội 8/2004. Trường hè và Hội nghị quốc tế này đã quy tụ khoảng 40 nhà Tôpô Đại số ở trình độ cao, trong đó có những chuyên gia hàng đầu thế giới. Kỷ yếu của Hội nghị đã được xuất bản: Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Geom. Topol. Monograph Geom. Topol. Publ., Coventry, Volume 11 (2007), xx + 441 pages.
Kỷ niệm 50 năm thành lập ĐHTH, tiền thân của ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội, là thời điểm mà sự cân bằng trong giảng dạy và nghiên cứu giữa Đại số - Hình học - Tôpô với Giải tích có đầy đủ cơ sở để lần đầu tiên trong lịch sử được thiết lập tại Khoa Toán của đại học chúng ta.
Trong khoảng thời gian từ kỷ niệm 50 năm đến kỷ niệm 55 năm thành lập ĐHTH, tiền thân của ĐHKHTN Hà Nội, đã có 3 giảng viên trẻ của Bộ môn Đại số- Hình học-Tôpô bảo vệ xuất sắc luận án tiến sĩ: Trần Ngọc Nam (2006), Võ Thị Như Quỳnh (2010), và Đào Phương Bắc (2010); Có 4 NCS khác bảo vệ thành công luận án TS tại Bộ môn.
Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô đã tổ chức thành công Hội nghị Tôpô Đại số Đông Á lần thứ 3 (EACAT3), Hà Nội 14-18/12/2009. Hội nghị đã quy tụ hầu hết các nhà Tôpô Đại số có trình độ cao nhất ở các quốc gia thành viên, đó là các quốc gia Đông Á có trình độ cao hơn so với các nước khác ở Châu Á về Tôpô Đại số, bao gồm Đài Loan, Hàn Quốc, Nhật Bản, Singapore, Trung Quốc, và Việt Nam. Hội nghị chào đón một số nhà khoa học trình độ cao từ một số quốc gia ngoài khu vực, như Mỹ, Pháp, Italia… Hội nghị có sự đóng góp của nhiều nhà toán học và NCS Việt Nam từ Hà Nội, Vinh, Huế, Quy Nhơn, Đà Lạt và Thành phố HCM. Hội nghị đã nghe và thảo luận 38 báo cáo khoa học. Đó là những đóng góp khoa học tiêu biểu trong thời gian qua của các nhà Tôpô Đại số khu vực Đông Á và đóng góp của các khách mời.
Giai đoạn 2009-2011, Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô có 1 đề tài (trong số 6 đề tài của Khoa Toán) được NAFOSTED tài trợ. Giai đoạn 2011-2013, Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô có 2 đề tài (trong số 6 đề tài của Khoa Toán), trở thành một trong số hai bộ môn có nhiều đề tài nhất Khoa, được NAFOSTED tài trợ.
Giáo sư Chủ nhiệm Bộ môn là thành viên Hội đồng khoa học Quỹ NAFOSTED và thành viên Hội đồng khoa học của Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán (VIASM).